素数が無限にあるという証明を通じて整数の深淵に迫りたいと思います

おはようございます。

2016年3月の数学に関する配信記事です。

素数について、新しい素数が発見されたという話をしましたが、その素数が無限に存在するはずだという証明は古くからなされているという話をします。

そもそも素数とは、１とその数のみでしか割り切ることができない数のことで、素因数分解などにつかわれる、数の元祖的な存在です。

１は素数とせず、2,3,5,7,11,13...と続いていくわけですが、この素数が無限に存在するというのはどうすればわかるのでしょうか。

素数が無限にあるということの証明

証明には、背理法という方法を使います。

仮に素数が有限であるとします。

その有限個の素数全体を、素数1、素数2、...素数n
と置きます。

そこで、素数1×素数2×...素数nという数を考えることはできます。

物凄く大きな数ですが、とにかく数は無限ですから存在します。

そして、その数に1を足した数を考えると、その数はこれまでのどの素数1、素数2、...素数nで割り切れない数、すなわち素数となってしまいます。

これは、素数が有限で、先に述べた素数1、素数2、...素数nの有限集合にあるということと明らかに矛盾します。

したがって、素数が有限であるという仮定は間違っており、素数は無限に存在しうる、ということになるのです。

実は文系で高等数学はほとんど全く知らない筆者でした。

日々勉強したいと思っているだけの筆者からは以上です。

（平成28年3月21日 月曜日）